托勒密定理的证明
托勒密定理是什么?如何证明？
托勒密定理是什么?如何证明？
托勒密定理：圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积，即AB*CD AD*BC=AC*BD。过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.① ②得AC(BP DP)=AB·CD AD·BC.即AC·BD=AB·CD AD·BC.
托勒密定理的六种证明方法？
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
托罗密定理证明？
托勒密证明过程：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。设ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD AD·BC。
圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是一种概念性的图形。
如何证明托勒密不等式？
证明 在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD 则三角形ABE和三角形ACD相似 所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1) 又有比例式AB/AC=AE/AD 而角BAC=角DAE 所以三角形ABC和三角形AED相似. BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2) (1) (2),得 AC(BE ED)=AB*CD AD*BC 又因为BE EDgt=BD 所以命题得证 推论 任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆 推广 托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d) (a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。 四点不限于同一平面。 在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD*BC AB*CD=AC*BD 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP ∠PCE=180° ③ ∴∠FDP ∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆.