单摆周期公式怎么推
单摆周期公式推导？
单摆周期公式推导？
设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为： d²；θ/dt² g/l*sinθ=0 令ω=dθ/dt,上式改写成： ωdω/dθ g/l*sinθ=0 ω²=2g/l*cosθ c 给定初始条件θ=α（0≤α≤π）,ω=0,则其特解为： ω²=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0,θ]dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 做变换sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ,则 t=√（l/g)*∫[0,φ]dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g)*F（φ,sin（α/2）) 以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2 那么T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2））,此处的α就是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响 单摆的近似公式为T=2π√（l/g）,精确公式为T=4√（l/g)*K(sin（α/2））,记相对误差为e（α） 那么e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)用Maple计算得到： 当10度内,e= sine=l/g e（1）=0.0019\% e（2）=0.0076\% e（3）=0.0171\% e（4）=0.0305\% e（5）=0.0476\% e（6）=0.0685\% e（7）=0.0933\% e（8）=0.1218\% e（9）=0.1542\% e（10）=0.1903\% e（11）=0.2303\% e（12）=0.2741\% e（13）=0.3217\% e（14）=0.3730\% e（15）=0.4282\% e（16）=0.4872\% e（17）=0.5500\% e（18）=0.6165\% e（19）=0.6869\% e（20）=0.7611\% 实验室一般取α≤5,所以相对误差不超过0.05\%,总的来说精度还是比较高的.