圆锥的体积微积分
如何用微积分原理解释圆锥体积的计算？
如何用微积分原理解释圆锥体积的计算？
答：对于计算体积和面积，可是微积分的强项！
我们可以把圆锥，如下图建立坐标系：
根据相似三角形，对于距离原点y处的小圆有：
h/R=y/r；
小圆面积为：
s=πr^2=π（Ry/h）^2
圆锥体的体积，是对y从0到h的定积分：
V=∫sdy=∫π（Ry/h）^2dy=(1/3)πhR^2
其实，对于任何截面积从零开始，并呈线性变化的体积，都是：
V=∫sdy=(1/3)Sh
即底面积乘高的三分之一，就算是呈复杂变化的立体体积，只要我们把r的函数关系修正一下，同样可以计算。
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如何用微积分原理解释圆锥体积的计算？
圆锥的体积等于和它等底等高圆柱体积的1/3，这个问题困扰我很久。在小学的时候，那节课我请假了没有去，我在家里采用实验验证法。就是用纸粘了一个圆锥，也粘了一个和它等底等高的圆柱。用圆锥往圆柱里灌麦子，灌了三下大概灌满，当然也可以灌沙子或灌水等。通过实验法，可以很直观的得到1/3这个概念。
三角形面积计算
三角形的面积公式很简单，底乘高除以2。将两个全等的三角形，可以拼成一个平行四边形。这就为我们解决椎体问题提供了思路。
将三棱柱进行三等分
请大家看下面这个图，2与3是两个等底等高的三棱锥，1与3也是两个等底等高的三棱锥，所以说1、2、3体积均相等。可以用橡皮泥捏个三棱柱，然后按图用刀子切开（注意安全），然后再拼上这样可以加深印象，直观理解。
祖暅原理
“两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，原文是“幂势既同，则积不容异”。
依据祖暅原理，可以将底面转化为圆形或其他图形，从而推出圆锥的体积公式，并且任意锥体的体积都要乘以这个1/3。祖暅原理其实就是一种微积分的思想。
旋转体体积公式
上大学之后学了微积分，通过微积分中旋转体体积计算公式可以很容易得到圆锥的体积公式。可以将圆锥，切成无数个小薄片，每个小薄片儿近似于圆柱，将这无数个小薄片儿的体积加起来求极限，就是圆锥的体积。